Vedeli ste o tejto vlastnosti konvexných funkcií?

Poznámka: obrázok som nehanebne ukradol z webstránky Romana Vershyinina.

Toto miesto je venované predovšetkým tm, ktorí boli na prednáške (alebo aj neboli!) a chceli by juakýmkoľvek spôsobom okomentovať, niečo sa spýtať, ďalej diskutovať a podobne.

“Slidy” som zavesil sem.

Úloha #46: Nech a sú reálne čísla a pre sú váhy (tj nezáporné reálne čísla, ktorých súčet je jedna) pre ktoré platí, že

1) pre každé ,

a pre platí

2) ,

3) .

Do tejto sekcie píšem veľmi krátke správy, často niečo čo ma práve zaujalo na webe, a zámerne väčšinou bez komentára. Dúfam, že si tu nájdete niečo zaujímavé na zamyslenie!

1. máj 2009

Typológia aziatov, inuitov a indiánov

Ako rozoznať Mongola od Číňana od Tibeťana od Inuita od Japonca od …? Preštudujte si tento plagát. Rád by som si to niekedy vytlačil a zavesil na stenu.

14. marec 2009

Randyho prednáška na webe

Nevedel som, že prednáška Randyho Pauscha je verejne prístupná na webe. Knihu mám rozčítanú, keď ju dočítam, pozriem si aj video.

30. január 2009

O nepochopení vedy

Pekné 10 minútové video na YouTube.

Sloboda prejavu je v ohroznení

Alebo: Čo sa podarilo presadiť islamským krajinám na pôde United Nations.

28. január 2009

Veda a demokracia

Výborný článok o vede ako metóde hľadania pravdy, o hodnotách a cnostiach ktoré nás učí a o demokracii.

15. január 2009

Chlapík čo predpovedal finančnú krízu

Peter Schiff predpovedal súčasnú (nielen) finančnú krízu. Tu je video zostrih.

7. november 2008

Lietajúci tanier na Titane

Pekné krátke video o sonde Cassini a prvom pristátí robotickej sondy zo Zeme na povrchu mesiaca inej planéty – Jupitera.

27. október 2008

Lepiaca páska ako lacný domáci Rőntgen?

Fyzici z Kalifornskej univerzity v Los Angeles objavili nečakaný jav. Pri odliepaní obyčajnej lepiacej pásky vo vákuu vzniká obrovský počet Rőntgenových lúčov – ďaleko väčší ako by sa dalo očakávať zo súčasných teórií.

26. október 2008

Tretie pokračovanie konferencie “Beyond Belief”

Beyond Belief: Candles in the Dark je tu! Ak to budete chciet vidieť offline, existuje aj torrent (nájdite si ho). Určite si pozrite minimálne prednášku V.S. Ramachandrana. Ako zvyčajne, je skvelý!

1. október 2008

Možno žijeme v obrovskej časoprestorovej bubline…

Šokujúce fyzikálne merania z roku 1998 ukazujú, že náš vesmír sa nielenže rozpína, ale rýchlosť rozpínania sa zvyšuje. Na to aby to bolo možné, je potrebné predpokladať, že asi 74% energie vesmíru tvorí tajomná čierna energia, ktorá toto rozpínanie spôsobuje. Nedávno sa však začali vo vedeckých kruhoch objavovať iné možne vysvetlenia. Čo ak pozorovateľný vesmír je len akousi riedkou bublinou vo väčšom vesmírnom komplexe, v ktorom je hustota hmoty oveľa vyššia? Ak by to tak bolo, čierna energia by už na vysvetlenie zrýchlujúceho sa rozpínania vesmíru nebola potrebná – príčinou by bola gravitačná sila hmoty mimo našej bubliny. Problém s týmto vysvetlením je, že sa vraciame k určitej verzii geocentrizmu, porušujúc Kopernikov princíp. Astrofyzici Clifton, Ferreira a Land z Oxfordskej univerzity už majú pripravený expriment, ktorý by medzi týmito dvomi teóriami vedel rozhodnúť. Odpoveď sa možno dozvieme už v roku 2015, kedy sa chystá spustenie NASA projektu Joint Dark Energy Mission.

24. september 2008

Čudesný čierny tok tečie rýchlosťou 3,2 milóna km/h smerom k súhvezdiu Kentaura!

Po čiernej hmote a čiernej energii tu už máme aj čierny tok! V októbrovom čísle vedeckého časopisu Astrophysical Journal Letters sa dočítate, že vo vesmíre sme objavili ďalšiu záhadu. Vyzerá to tak, že tento gigantický pohyb hmoty nemožno vysvetliť nijakým známym fyzikálnym procesom v pozorovateľnom vesmíre (t.j. časti vesmíru vzdialenej od nás iba tak ďaleko, že od veľkého tresku bolo dostatok času aby k nám odtiaľ priletelo svetlo).

22. september 2008

Uhľovodíky v súhvezdí Perzea

700 svetelných rokov od nás, v súhvezdí Perzea, v mraku medzihviezdnej hmoty, detekovali vedci prítomnosť polycyklických aromatických uhľovodíkov, konkrétne naftalén. Keďže život ako ho poznáme je založený práve na karbohydrátoch, tento objav je zaujímavým článkom do mozaiky vysvetlenia vzniku života na Zemi.

18. september 2008

Viera pomáha tlmiť bolesť

Mozog hlboko veriacich katolíkov reaguje na bolesť inak ako je to u ateistov. Ak ich uštipnete pritom ako sa pozerajú na obraz svätca, cítia menej bolesti. Nerobím si srandu, štúdia je ešte teplučká, priamo z Oxfordskej pekárne. Zmena v spracovaní mozgom je viditeľná cez magnetickú rezonanciu.

16. september 2008

Prvá planéta obiehajúca okolo hviezdy podobnej Slnku?

Je cca osemkrát ťažšia ako Jupiter a od hviezdy 1RXS J160929.1-210524 (kto ju krstil??) sa nachádza vo vzdialenosi až 11x väčšej ako je vzdialenosť Slnko-Neptún. Vedcom sa to zdá čudné a je možné, že planéta je niekde úplne inde ako sa javí… Viac si môžete prečítať tu.

15. september 2008

Zničil už veľký hadrónový urýchľovač Zem?

Ak chcete mať up-to-date info, kliknite sem!

Po 150 rokoch sa Anglikánska cirkev ospravedlní Darwinovi za odmietnutie evolúcie

Zároveň AC porovnáva túto historickú chybu k odmietnutiu Galileových astronomických myšlienok v 17. storočí. Hmm, zaujímavé. Článok je tu.

14. september 2008

Kreacionizmus verzus Kráľovská vedecká spoločnosť

Tak to vyzerá, že po niekoľkých rokoch polemiky medzi vedeckou obcou a proponentami “teórie” inteligentného dizajnu (Dover a pod) o učení kreacionizmu v školskom vedeckom kurikulu v USA sa konflikt vyostruje aj vo Veľkej Británii.

ABC FORA. Myšlienky. Prednášky. Debaty.

Práve som narazil na túto webstránku a pozrel si jedno video. Na prvý pohľad mi to pripomína TED Talks, ale v Austrálskom podaní. S témami ako veda, náboženstvo, filozofia, umenie a mnohými ďaľšími to vyzerá veľmi sľubne!

13. september 2008

Prečo sme poverčiví alebo “konaj než bude neskoro”

Vedecký tím na Harvarde prišiel so zaujímavým a prekvapivo jednoduchým vysvetlením ľudskej poverčivosti (superstition). Do dvoch viet by sa celý nápad dal zhrnúť asi takto:

Naši predkovia mali väčšiu šancu na prežitie keď šuchot za ich chrbtom v pralese radšej interpretovali ako blížiace sa nebezpečie (predátor, lovec nepriateľského kmeňa a pod), pretože v opačnom prípade riskovali, že tam ten predátor skutočne je a že ich zje. Ľudí s “flegmatickými génmi” bolo stále menej a menej (stačilo sa raz seknúť v úsudku a medveď si ich dal na obed), až napokon evolučne prevládli gény, ktoré takúto interpretáciu automatizovali a zjednodušovali (evolučný tlak na vznik poverčivosti).

11. september 2008

Kde je 96% vesmíru a podobné otázky

Čo je to hmotnosť? Kde sa stratilo 96% vesmíru? Čo sa podelo so všetkou antihmotou? Ako to vyzeralo v prvej sekunde po veľkom tresku? Má náš svet v skutočnosti 11 dimenzií?

Vedecké experimenty v nedávno spustenom Veľkom hadrónovom urýchľovači (LHC) by mali dokázať priniesť odpovede na aspoň niektoré z týchto otázok. Podľa Briana Greena je však na celej veci najvzrušujúcejšia reálna možnosť dozvedieť sa o svete niečo úplne nečakané, niečo čo nás prinúti zmeniť základy nášho chápania kozmu.

Úloha #45:

V kontexte problému dával tento výraz zmysel iba v prípade, keby bol vždy nezáporný. Podujal som sa to teda overiť, a aj sa mi to po chvíli podarilo. Táto “skúška správnosti” ma uspokojila, a pokračoval som ďalej v skúmaní. Na druhý deň som si pri inej príležitosti uvedomil, že môj pôvodný dôkaz nebol “from The Book”. Existoval totiž omnoho jednoduchší a jasnejší dôkaz.

Podarí sa Vám vypátrať oba “moje” dôkazy? Prekvapíte ma inými dôkazmi?

Poznámka: Ak chcete v komentároch použiť , tu je návod ako na to.

Úloha #44:

K ľubovoľnému vektoru priradíme vektor nasledovne: . Keďže túto operáciu budeme aplikovať opakovane, vypomôžme si špeciálnou notáciou. Označme , , a tak ďalej.

Takže napríklad pre máme , a napokon . Je teda zrejmé, že ak , potom . Symbolom označme množinu všetkých vektorov, ktoré získame permutáciou súradníc vektora .

a) Dokážte, že .

b) Je pravda, že pre každé prirodzené existuje , pre ktoré ?

c) S pomocou krátkeho programíku som si všimol, že pre platí, že , kde (resp. ) je počet prvkov množiny , pre ktoré platí, že je kladné (resp. záporné). Konkrétne máme

,

,

,

,

,

,

,

,

Je pravda, že pre každé ?

d) Vieme povedať niečo iné o hodnotách pre ?

Poznámka: V komentároch môžete používať , tu je stručný návod ako na to. Tento článok bol napísaný takto.

Úloha #43:

Nájdete dôkaz nasledovného tvrdenia?

Radovu množnu S možno vpísať do kruhu L so stredom O a polomerom , kde je vzdialenosť bodu A od O. Toto je zároveň najmenší kruh so stredom v bode O obsahujúci S.

Úloha #42:

a) C sa celý nachádza v K,
b) C je kruh najmenšieho polomeru spomedzi všetkých, ktoré obsahujú S.

Keďže som už nad tým strávil toľko času, ešte sem pridám MATLABovský kód, ktorým som vygeneroval obrázok vľavo:

% Radov problem o kruhu a tetive

clear; clf; clc;

hold on
axis equal

beta = rand*2*pi; t = rand; A = t*[cos(beta); sin(beta)];

i = 0;
for alpha = 0:0.1:2*pi
i = i + 1;
BB(:,i) = [cos(alpha); sin(alpha)];
end
plot(BB(1,:),BB(2,:),’-red’);

i = 0;
for alpha = 0:0.1:2*pi
i = i + 1;
B = BB(:,i);
M = (A+B)/2;
V = [A(2)-B(2);B(1)-A(1)]; % vektor kolmy na B-A

% vyries kvadraticku rovnicu
a = V’*V; b = (A+B)’*V; c = M’*M – 1;
D = sqrt(b^2-4*a*c);
t1 = (-b+ D)/(2*a); t2 = (-b- D)/(2*a);

P1 = M + t1*V; P2 = M + t2*V; % koncove body tetivy
plot([P1(1),P2(1)],[P1(2),P2(2)],’-black’);
end

% testujeme Theorem 1
for i=1:100
alpha = rand*2*pi; t = rand; X = t*[cos(alpha); sin(alpha)]; % nahodny bod vnutri kruznice
if  norm(X,2)  < A’*X + (1-A’*A)/2
plot(X(1),X(2),’.green’);
else
plot(X(1),X(2),’.blue’);
end
end

% testujeme Theorem 5
H = eye(2)-A*A’; v = A/2; t = A’*A; r = 0.5*(1-t)*sqrt(1 + t/(1-t));
for i=1:100
alpha = rand*2*pi; t = rand; X = t*[cos(alpha); sin(alpha)]; % nahodny bod vnutri kruznice
if  (X-v)’*H*(X-v) <= r^2
plot(X(1),X(2),’.green’);
else
plot(X(1),X(2),’.blue’);
end
end

plot(0,0,’+red’); text(0,0.1,’0′);
plot(A(1),A(2),’+blue’);
plot(A(1)/2,A(2)/2,’+magenta’);
text(A(1),A(2)+0.1,’A');

Poznámka 10.2.2010: Tu nájdete pdf súbor, v ktorom si môžete pozrieť tvorbu Radovej množiny krok po kroku.